Question

如圖，直三棱柱中，、分別是棱、的中點，點在棱上，已知，，．

（1）求證：平面；
（2）設點在棱上，當為何值時，平面平面？

Answer 1

（1）詳見解析；（2）

試題分析：（1）要證明平面，只需在平面內找一條直線與平行，如果不容易直接找到，可以將平移到平面內，平移直線的方法一般有①中位線平移；②平行四邊形對邊平行平移；③成比例線段平移，該題連接交于，連接，可證，從而∥，進而可證平面；（2）該題主要是如何分析得到的位置，然后再證明，由已知可得平面平面，進而可證平面，故ADCM，只需有，則CM平面，從而平面平面，那么如何保證呢？在矩形中，只需，則
，則，所以，倒過來，再證明平面平面即可.
試題解析：（1）連接交于，連接，因為CE，AD為△ABC中線，所以O為△ABC的重心，，從而OF//C₁E，OF面ADF，平面，所以平面；
（2）當BM=1時，平面平面．
在直三棱柱中，由于平面ABC，BB₁平面B₁BCC₁，所以平面B₁BCC₁平面ABC，由于AB=AC，是中點，所以，又平面B₁BCC₁∩平面ABC=BC，所以AD平面B₁BCC₁， 而CM平面B₁BCC₁，于是ADCM，因為BM =CD=1，BC= CF=2，所以≌，所CMDF，
DF與AD相交，所以CM平面，CM平面CAM，所以平面平面，∴當BM=1時，平面平面．