Question

（附加題）設x為實數，定義[x]為不小于x的最小整數，例如[π]=4，[-π]=-3．
（1）關于實數x的方程[3x+1]=2x-

1

2

的全部實根之和等于

-4

．
（2）方程x²-8[x]+7=0的所有解為

{1，

33

，

41

 ，7}

．

Answer 1

分析：（1）設2x-

1

2

=k∈Z，則x=

2k+1

4

，3x+1=k+1+

2k+3

4

，于是原方程等價于[

2k+3

4

]=-1，從而可得k=-5或-4，求出相應的x，就可得所有實根之和；
（2）根據x≥[x]=

x2+7

8

＞0，可得x²-8x+7≤0，即1≤x≤7，分[x]=1，2，3，4，5，6，7討論，就可以得到方程x²-8[x]+7=0的所有解．

解答：解：（1）設2x-

1

2

=k∈Z，則x=

2k+1

4

，3x+1=k+1+

2k+3

4

，
于是原方程等價于[

2k+3

4

]=-1，即-2＜

2k+3

4

≤-1，
從而-

11

2

＜k≤-

7

2

，即k=-5或-4．
相應的x為-

9

4

，-

7

4

．于是所有實根之和為-4
（2）∵x≥[x]=

x2+7

8

＞0，∴x²-8x+7≤0，∴1≤x≤7
[x]=1，x²=1，∴x=1；
[x]=2，x²=9，x=3與[x]=2矛盾；
[x]=3，x²=17，[x]=4與[x]=3矛盾；
[x]=4，x²=25，x=5與[x]=4矛盾；
[x]=5，x²=33，[x]=5；
[x]=6，x²=41，[x]=6；
[x]=7，x²=49，x=7
綜上知，方程x²-8[x]+7=0的所有解為{1，

33

，

41

 ，7}
故答案為：（1）-4；（2）{1，

33

，

41

 ，7}

點評：本題考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，考查轉化能力，屬于中檔題．