Question

 如圖，四棱錐F－ABCD的底面ABCD是菱形，其對(duì)角線AC=2，BD=，AE、CF都與平面ABCD垂直，AE=1，CF=2.

（I）求二面角B－AF－D的大小；

（II）求四棱錐E－ABCD與四棱錐F－ABCD公共部分的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】

試題分析：解：（I）（綜合法）連接AC、BD交于菱形的中心O，過O作OGAF，

G為垂足。連接BG、DG。由BDAC，BDCF得BD平面ACF，故BDAF。

于是AF平面BGD，所以BGAF，DGAF，BGD為二面角B－AF－D 的平面角。

由， ，得，

由，得

（向量法）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）

設(shè)平面ABF的法向量，則由得

令，得，

同理，可求得平面ADF的法向量。

由知，平面ABF與平面ADF垂直，

二面角B-AF-D的大小等于。

（II）連EB、EC、ED，設(shè)直線AF與直線CE相交于點(diǎn)H，則四棱錐E-ABCD與四棱錐F-ABCD的公共部分為四棱錐H-ABCD。

過H作HP⊥平面ABCD，P為垂足。

因?yàn)镋A⊥平面ABCD，F(xiàn)C⊥平面ABCD，，所以平面ACFE⊥平面ABCD，從而

由得。

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082212392983015801/SYS201308221240086606337263_DA.files/image027.png">

故四棱錐H-ABCD的體積

考點(diǎn)：二面角以及體積

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了二面角的平面角以及體積的計(jì)算。屬于基礎(chǔ)題。