Question

（2013•山東）如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CE∥平面PAD
（Ⅱ）求證：平面EFG⊥平面EMN．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PA的中點(diǎn)H，則由條件可得HE和CD平行且相等，故四邊形CDHE為平行四邊形，故CE∥DH．再由直線
和平面平行的判定定理證明CE∥平面PAD．
（Ⅱ）先證明MN⊥平面PAC，再證明平面EFG∥平面PAC，可得MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN內(nèi)，
利用平面和平面垂直的判定定理證明平面EFG⊥平面EMN．

解答：解：（Ⅰ）證明：∵四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB、AB、BC、PD、PC的中點(diǎn)，
取PA的中點(diǎn)H，
則由HE∥AB，HE=

1

2

AB，而且CD∥AB，CD=

1

2

AB，可得HE和CD平行且相等，故四邊形CDHE為平行四邊形，
故CE∥DH．
由于DH在平面PAD內(nèi)，而 CE不在平面PAD內(nèi)，故有CE∥平面PAD．
（Ⅱ）證明：由于AB⊥AC，AB⊥PA，而PA∩AC=A，可得AB⊥平面PAC．再由AB∥CD可得，CD⊥平面PAC．
由于MN是三角形PCD的中位線，故有MN∥CD，故MN⊥平面PAC．
由于EF為三角形PAB的中位線，可得EF∥PA，而PA在平面PAC內(nèi)，而EF不在平面PAC內(nèi)，故有EF∥平面PAC．
同理可得，F(xiàn)G∥平面PAC．
而EF 和FG是平面EFG內(nèi)的兩條相交直線，故有平面EFG∥平面PAC．
∴MN⊥平面EFG，而MN在平面EMN內(nèi)，故有平面EFG⊥平面EMN．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，平面和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．