Question

（2013•山東）如圖所示，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA=BP=BQ，D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ=2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH．
（1）求證：AB∥GH；
（2）求二面角D-GH-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由給出的D，C，E，F分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，利用三角形中位線知識及平行公理得到DC平行于EF，再利用線面平行的判定和性質得到DC平行于GH，從而得到AB∥GH；
（2）由題意可知BA、BQ、BP兩兩相互垂直，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，設出BA、BQ、BP的長度，標出點的坐標，求出一些向量的坐標，利用二面角的兩個面的法向量所成的角的余弦值求解二面角D-GH-E的余弦值．

解答：（1）證明：如圖，

∵C，D為AQ，BQ的中點，∴CD∥AB，
又E，F分別AP，BP的中點，∴EF∥AB，
則EF∥CD．又EF?平面EFQ，∴CD∥平面EFQ．
又CD?平面PCD，且平面PCD∩平面EFQ=GH，∴CD∥GH．
又AB∥CD，∴AB∥GH；
（2）由AQ=2BD，D為AQ的中點可得，三角形ABQ為直角三角形，
以B為坐標原點，分別以BA、BQ、BP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
設AB=BP=BQ=2，
則D（1，1，0），C（0，1，0），E（1，0，1），F（0，0，1），
因為H為三角形PBQ的重心，所以H（0，

2

3

，

2

3

）．
則

DC

=(-1，0，0)，

CH

=(0，-

1

3

，

2

3

)

EF

=(-1，0，0)，

FH

=(0，

2

3

，-

1

3

)．
設平面GCD的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)
由

m • DC =0 m • CH =0

，得

-x1=0 - 1 3 y1+ 2 3 z1=0

，取z₁=1，得y₁=2．
所以

m

=(0，2，1)．
設平面EFG的一個法向量為

n

=(x2，y2，z2)
由

n • EF =0 n • FH =0

，得

-x2=0 2 3 y2- 1 3 z2=0

，取z₂=2，得y₂=1．
所以

n

=(0，1，2)．
所以cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m |•| n |

=

2×1+1×2

5 5

=

4

5

．
則二面角D-GH-E的余弦值等于-

4

5

．

點評：本題考查了直線與平面平行的性質，考查了二面角的平面角及其求法，考查了學生的空間想象能力和思維能力，考查了計算能力，解答此題的關鍵是正確求出H點的坐標，是中檔題．