Question

【題目】已知函數，其中，a為實數．

（1）當函數的圖像在上與x軸有唯一的公共點時，求實數a的取值范圍；

（2）當時，求函數在上的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】（1），或，或；（2）最大值為，最小值為

【解析】

由已知有．

（1）由函數的圖像與x軸公共點的橫坐標是二次方程的實數根得．

下面分三種情形討論．

（i）當時，有．

進而，是函數的圖像在上與x軸的唯一公共點，故為所求．

（ii）當時，有．進而，．

又由函數的圖像在上與x軸有唯一的公共點，得，即．解得．

（iii）當時，有．進而，．

又由函數的圖像在上與x軸有唯一的公共點，得，即．解得．

所以，實數a的取值范圍為，或，或．

（2）當時，有，且的兩個根為，只有在上．

則在上單調遞減，在上單調遞增，且．

因此，函數在上的最大值為，最小值為．