Question

已知f（x）=

lnx

x

，g（x）=-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

，t為實常數，
（1）比較

1

e

與ln

2

大小．
（2）求f（x）在區間[1，a]（a＞1的常數）上最大值．
（3）當x∈[1，2]時，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]對于λ∈[1，+∞）恒成立，求t取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用導數求得f（x）的單調區間，根據單調性可得f（e）＞f（2），由此可得到結論；
（2）由（1）可知f（x）的單調區間，按照1＜a≤e，a＞e兩種情況進行討論，由單調性可得其最大值；
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-

x2

2

+2ex-

1

x

≤tλ，令h（x）=-

x2

2

+2ex-

1

x

（1≤x≤2），利用導數可求得h（x）在[1，2]上的最大值，然后分離出參數t后再求最值即可；

解答：解：（1）∵f（x）=

lnx

x

，∴x＞0，f′（x）=

1-lnx

x2

，
由f′（x）=

1-lnx

x2

=0，得x=e．
當0＜x＜e時，f′（x）＞0；當x＞e時，f′（x）＜0．
∴f（x）=

lnx

x

在（0，e）內是增函數，在（e，+∞）內是減函數．
∵e＞2，∴f（e）＞f（2），即

lne

e

＞

ln2

2

，
∴

1

e

＞ln

2

．
（2）由（1）知f（x）=

lnx

x

在（0，e）內是增函數，在（e，+∞）內是減函數，
∴當1＜a≤e時，f（x）在區間[1，a]上遞增，最大值為f（a）=

lna

a

；
當a＞e時，f（x）在區間[1，e]上遞增，在[e，a]上遞減，最大值為f（e）=

1

e

．
∴f（x）在區間[1，a]（a＞1的常數）上最大值為f（x）_max=

lna a ，1＜a≤e 1 e ，a＞e

．
（3）g（x）≤t[λ-xf（x）]即-

x2

2

+2ex-tlnx-

1

x

≤t（λ-lnx），亦即-

x2

2

+2ex-

1

x

≤tλ，
令h（x）=-

x2

2

+2ex-

1

x

（1≤x≤2），則h′（x）=-x+2e+

1

x2

=

-x3+2ex2+1

x2

，
令φ（x）=-x³+2ex²+1，則φ′（x）=-3x²+4ex=-3x（x-

4

3

e），
當x∈[1，2]時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增，
則φ（x）≥φ（1）=2e＞0，
所以h′（x）＞0，h（x）在[1，2]上單調遞增，
所以h（x）_max=h（2）=4e-

5

2

，
所以要使x∈[1，2]時，不等式g（x）≤t[λ-xf（x）]成立，有4e-

5

2

≤tλ，
該不等式可變為t≥

4e- 5 2

λ

，要使g（x）≤t[λ-xf（x）]對于λ∈[1，+∞）恒成立，
因為

4e- 5 2

λ

在[1，+∞）上遞減，所以只需t≥4e-

5

2

，
故實數t的取值范圍為t≥4e-

5

2

．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、函數在閉區間上的最值，考查恒成立問題，考查轉化思想，考查學生分析問題解決問題的能力．