Question

（2005•南匯區一模）已知數列{a_n}的前n項和S_n=50n-n²（n∈N^*）
（1）求證{a_n}是等差數列．
（2）設b_n=|a_n|，求數列{b_n}的前n項和T_n
（3）求

lim n→∞

（

Sn

Tn

）的值．

Answer 1

分析：（1）a₁=S₁=49，因此，當n≥2時有a_n=S_n-S_n-1=50n-n²-50（n-1）+（n-1）²=51-2n，所以a_n+1-a_n=-2，由此能夠證明{a_n}是等差數列．
（2）若a_n=51-2n＞0，則n＜25.5．設T_n=b₁+b₂+…+b_n，當n≤25時，則b_n=a_n，此時，T_n=S_n=50n-n²；當n≥26時，b_n=-a_n，
而b₂₆+b₂₇+…+b_n=-（a₂₆+a₂₇+…+a_n）=-（S_n-S₂₅）．由此能求出數列{b_n}的前n項和T_n．
（3）

lim

n→∞

（

Sn

Tn

）=

l i m n→∞

（

50n-n2

n2-50n+1250

）=-1．

解答：解：（1）a₁=S₁=49，
因此，當n≥2時有a_n=S_n-S_n-1=50n-n²-50（n-1）+（n-1）²=51-2n
所以a_n=51-2n（n∈N^*）（3分）
∴a_n+1-a_n=-2，
故{a_n}是首項為49，公差為-2的等差數列（6分）
（2）若a_n=51-2n＞0，
則n＜25.5（7分）
設T_n=b₁+b₂+…+b_n，
當n≤25時，
則b_n=a_n，
此時，T_n=S_n=50n-n²；    （9分）
當n≥26時，b_n=-a_n，
而b₂₆+b₂₇+…+b_n=-（a₂₆+a₂₇+…+a_n）=-（S_n-S₂₅）
所以 T_n=S₂₅+S₂₅-S_n=2S₂₅-S_n=1250-（50n-n²）=n²-50n+1250
綜合所得 Tn=

50n-n2，n≤25 n2-50n+1250，n＞25

(n∈N*)（14分）
（3）

lim

n→∞

（

Sn

Tn

）
=

l i m n→∞

（

50n-n2

n2-50n+1250

）
=-1  （16分）

點評：本題考查數列的極限的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意等差數列運算公式的靈活運用．