Question

拋物線有光學(xué)性質(zhì): 由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y²=2px(p＞0) 一光源在點M(,4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l: 2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)

(1)設(shè)P、Q兩點坐標(biāo)分別為(x₁,y₁)、(x₂,y₂)，證明：y₁·y₂=－p²；
(2)求拋物線的方程；
(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關(guān)于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

(1)證明略， (2) y²=4x (3) 拋物線上存在一點(，－1)與點M關(guān)于直線PN對稱.

由拋物線的光學(xué)性質(zhì)及題意知
光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，
設(shè)直線PQ的方程為y=k(x－)                         ①
由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y²=2px中，整理，得y²－y－p²=0,由韋達(dá)定理，y₁y₂=－p²。
當(dāng)直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y₁·y₂=－p².
(2)解:因為光線QN經(jīng)直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關(guān)于直線l對稱，設(shè)點M(，4)關(guān)于l的對稱點為M′(x′,y′)，則
解得
直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標(biāo)y₂=－1，
由題設(shè)P點的縱坐標(biāo)y₁=4，且由(1)知:y₁·y₂=－p²,則4·(－1)=－p²,
得p=2,故所求拋物線方程為y²=4x。 
(3)解: 將y=4代入y²=4x,得x=4，故P點坐標(biāo)為(4，4)
將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,
故N點坐標(biāo)為(，－1)
由P、N兩點坐標(biāo)得直線PN的方程為2x+y－12=0,
設(shè)M點關(guān)于直線NP的對稱點M₁(x₁,y₁)

又M₁(,－1)的坐標(biāo)是拋物線方程y²=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關(guān)于直線PN對稱.