Question

已知函數g(x)=

1

x•sinθ

+lnx在[1，+∞）上為增函數．且θ∈（0，π），f(x)=mx-

m-1

x

-lnx (m∈R)
（1）求θ的值；
（2）若f（x）-g（x）在[1，+∞）函數是單調函數，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先對函數g（x）進行求導，根據 g′（x）≥0 在x≥1時成立可得

1

x

≥

1

sinθx2

，根據θ∈（0，π） 可知sinθ＞0，所以sinθ=1求得θ的值．
（2）對函數f（x）-g（x）進行求導，使其為單調，需m=0時，恒小于0  成立m不等于0時對于h（x） 可變為 K（x）=mx²-2x+m=0的形式求解 進而根據對稱軸求得所以使K（1）≥0則成立的條件求得m的范圍．m＜0時，使K（1）≤0，所以m≤-1．綜合可得答案．

解答：解：（1）求導 得到 g′（x）=-

1

sinθx2

+

1

x

≥0 在x≥1時成立
∴

1

x

≥

1

sinθx2

∴1≥

1

sinθ•x

∵θ∈（0，π）∴sinθ＞0
∴sinθx≥1
∴sinθ=1  θ=

π

2

（2）（f（x）-g（x））′=m+

m-1

x2

-

1

x

+

1

x2

-

1

x

=m+

m

x2

-

2

x

使其為單調
∴h（x）=m+

m

x2

-

2

x

=

mx2-2x+m

x2

，在x≥1時
m=0時  h（x）＜0恒成立．
m≠0時
對于h（x）=

mx2-2x+m

x2

，令 K（x）=mx²-2x+m=0的形式求解
因為[1，+∞）上函數為增函數，所以m＞0時 對稱軸x=

1

m

所以使K（1）≥0則成立所以m-2+m≥0
所以m≥1
m＜0時   使K（1）≤0  所以m≤-1
綜上所述 m=0或m≥1或m≤-1

點評：本題主要考查了方程與函數的綜合運用．考查了用導數法研究函數的單調性問題．