Question

已知函數g(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，則函數g（x+3）的零點所在的區間為（　　）

• A、（-1，0）
• B、（-4，-3）
• C、（-3，-2）或（-2，-1）
• D、（1，2）

Answer 1

分析：根據g（0）•g（-1）＜0可判定g（x）在（-1，0）上存在零點，然后利用導數研究函數的單調性可得零點的個數，最后根據函數圖象的平移可得結論．

解答：解：∵g(x)=1+x-

x2

2

+

x3

3

-

x4

4

+…+

x2013

2013

，
∴g（0）=1，g（-1）=-

1

2

-

1

3

-

1

4

-…-

1

2013

＜0，
∴g（0）•g（-1）=g（-1）＜0，
當x∈（-1，0）時，g′（x）=1-x+x²-x³+…-x²⁰¹¹+x²⁰¹²=

1-(-x)2013

1-(-x)

=

1+x2013

1+x

＞0，
∴g（x）在（-1，0）上是增函數，故g（x）恰有一個零點，
∵函數g（x+3）是由函數g（x）向左平移3個單位得到，
∴函數g（x+3）的零點所在的區間為（-4，-3）．
故選：B．

點評：本題主要考查了函數零點的判定定理，以及利用導數研究函數的單調性和等比數列求和，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．