Question

已知函數g(x)=

1-2x

1+2x

．判斷并證明函數g（x）的單調性．

Answer 1

分析：g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，由2^x在R上單調遞增，知

2

1+2x

在R上單調遞減，所以g(x)=

1-2x

1+2x

為單調減函數．

解答：解：函數g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

是減函數．
證明：g(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
①在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
②g（x₁）-g（x₂）=(-1+

2

1+2x 1

)-(-1+

2

1+2x2

)
=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1) (1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，2^x在R上單調遞增，
∴2x2-2x1＞0，(1+2x1) (1+2x2) ＞0，
∴g（x₁）-g（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

＞0，
∴函數g(x)=

1-2x

1+2x

是減函數．

點評：本題考查指數函數的單調性與特殊點，解題時要認真審題，仔細解答，注意指數函數性質的靈活運用．