Question

如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異于點的任意一點，點與點關于點對稱．

（1）若點的坐標為，求的值；
（2）若橢圓上存在點，使得，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

解析試題分析：Ⅰ）解：依題意，是線段的中點，因為，，
所以 點的坐標為．      2分
由點在橢圓上，所以 ，                            4分
解得 ．                                                     5分
（Ⅱ）解：設，則 ，且．     ①          6分
因為 是線段的中點，
所以 ．                                             7分
因為 ，
所以 ．    ②                             8分
由 ①，② 消去，整理得 ．                         10分
所以 ，                       12分
當且僅當 時，上式等號成立．又
所以 的取值范圍是．                                 13分
考點：本題主要考查橢圓的標準方程，橢圓的幾何性質，直線與橢圓的位置關系，均值定理的應用。
點評：中檔題，運用了橢圓的幾何性質，a,b,c,e的關系要熟練掌握。曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。涉及直線垂直問題，利用斜率的坐標運算，得到m的表達式，利用均值定理得到其范圍。本題難度不大，綜合性較強。