Question

15．已知指數函數y=g（x）滿足g（3）=8，又定義域為實數集R的函數f（x）=$\frac{1-g（x）}{1+g（x）}$是奇函數．
（1）討論函數y=f（x）的單調性；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據g（3）=a³=8，求出a的值，從而求出f（x）的解析式，根據函數單調性的定義判斷函數的單調性即可；
（2）根據函數f（x）的單調性和奇偶性得到2t-3t²＜k-t²，即k＞-2t²+2t恒成立，設h（t）=-2t²+2t=-2${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，根據二次函數的性質求出k的范圍即可．

解答 解：（1）設g（x）=a^x，（a＞0且a≠1），g（3）=a³=8，
故a=2，f（x）=$\frac{1{-2}^{x}}{1{+2}^{x}}$，
任取實數x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{1{-2}^{{x}_{1}}}{1{+2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1{-2}^{{x}_{2}}}{1{+2}^{{x}_{2}}}$
=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{（1{+2}^{{x}_{1}}）（1{+2}^{{x}_{2}}）}$，
∵x₁＜x₂，考慮y=2^x在R遞增，
∴${2}^{{x}_{2}}$＞${2}^{{x}_{1}}$＞0，
∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，（1+${2}^{{x}_{2}}$）（1+${2}^{{x}_{1}}$）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）在R遞減；
（2）要使f（2t-3t²）+f（t²-k）＞0恒成立，
即f（2t-3t²）＞-f（t²-k）成立，
即f（2t-3t²）＞f（k-t²）成立，
由（1）得：2t-3t²＜k-t²，即k＞-2t²+2t恒成立，
設h（t）=-2t²+2t=-2${（t-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{1}{2}$，
h（t）_max=$\frac{1}{2}$，
故k＞$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了函數的單調性、奇偶性問題，考查二次函數的性質，是一道中檔題．