Question

（I）證明函數f(x)=x+

1

x

在[1，+∞）上單調遞增；
（II）試利用（I）中的結論，求函數y=

x2+4

+

1

x2+4

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f′（x）=1-

1

x2

＞0即可證得結論；
（Ⅱ）令g（x）=

x2+4

+

1

x2+4

，利用（I）中的結論，即可求得其最小值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=1-

1

x2

，
∴x≥1時，

1

x2

≤1，
∴f′（x）=1-

1

x2

≥0，
∴f（x）=x+

1

x

在[1，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）令u=

x2+4

，
則u≥2，
由（I）中的結論可知，f（u）=u+

1

u

在[2，+∞）上單調遞增；
∵當x=0時，u_min=2，
∴f（u）_min=f（2）=2+

1

2

=

5

2

．
∴y=

x2+4

+

1

x2+4

的最小值為

5

2

．

點評：本題考查導數在判斷函數單調性中的作用，考查理解與運算能力，屬于中檔題．