Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：“①方程f（x）-x=0有實數根； ②函數f（x）的導數f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（I）判斷函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否是集合M中的元素，并說明理由；
（II）集合M中的元素f（x）具有下面的性質：若f（x）的定義域為D，則對于任意[m，n]⊆D，都存在x₀∈[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x₀）成立”，試用這一性質證明：方程f（x）-x=0只有一個實數根．

Answer 1

分析：（I）判定函數 f(x)=

x

2

+

sinx

4

是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．”
（II）證明只有一個的問題，可利用反正法進行證明，假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），然后尋找矛盾，從而肯定結論．

解答：解：（I）因為f′(x)=

1

2

+

1

4

cosx，
所以f′(x)∈[

1

4

，

3

4

]滿足條件0＜f'（x）＜1，
又因為當x=0時，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實數根0．
所以函數f(x)=

x

2

+

sinx

4

是集合M中的元素．
（II）證明：假設方程f（x）-x=0存在兩個實數根α，β（α≠β），
則f（α）-α=0，f（β）-β=0
不妨設α＜β，根據題意存在數c∈（α，β），
使得等式f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立
因為f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，所以f'（c）=1
與已知0＜f'（x）＜1矛盾，所以方程f（x）-x=0只有一個實數根．

點評：本題考查了導數的運算，方程的解、三角函數性質，等知識，考查反證法、以及閱讀能力，是一道函數綜合問題．