Question

設M是由滿足下列條件的函數f（x）構成的集合：（1）方程f（x）-x=0有實數解；（2）函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．給出如下函數：
①f(x)=

x

2

+

sinx

4

；
②f（x）=x+tanx，x∈(-

π

2

，

π

2

)；
③f（x）=log₃x+1，x∈[1，+∞）．
其中是集合M中的元素的有

①③

．（只需填寫函數的序號）

Answer 1

分析：逐個判定函數是否滿足：“①方程f（x）-x=0有實數根；②函數f（x）的導數f′（x）滿足0＜f′（x）＜1”即可．

解答：解：①因為f′（x）=

1

2

+

1

4

cosx，
所以f′（x）∈[

1

4

，

3

4

]滿足條件0＜f'（x）＜1，
又因為當x=0時，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實數根0．
所以函數是集合M中的元素．
②當x=0時，f（0）=0，所以方程f（x）-x=0有實數根0，滿足條件（1），
但f′（x）=1+

1

cos2x

＞1，不滿足條件（2），
故②不是M中的元素；
③當x=1時，f（1）=1，所以方程f（x）-x=0有實數根1，滿足條件（1），
f′（x）=

1

xln3

，當x≥1時，0＜

1

xln3

≤

1

ln3

＜1，滿足條件（2），
所以③是M中的元素；
故答案為：①③

點評：本題考查利用導數研究函數的最值、集合元素間的關系，考查學生分析解決新問題的能力．