Question

已知函數f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1）．
（I）證明函數f（x）是奇函數；
（II）討論函數f（x）的單調性，并加以證明；
（III）是否存在實數a，使得函數f（x）在區間[1，2]上的最大值為

3

2

？若存在，求出a的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據函數單調性的定義，直接加以驗證即可得到函數f（x）是奇函數；
（II）設x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差、因式分解，可得當a＞1時f（x₁）＜f（x₂），由定義可得函數f（x）是增函數，當0＜a＜1時f（x₁）＞f（x₂），可得函數f（x）是減函數；
（III）分a＞1時、0＜a＜1兩種情況加以討論，根據（II）中函數的單調性建立關于a的方程，解之可得存在
a=

2

滿足f（x）在區間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

．

解答：解：（I）∵f（x）=a^x-a^-x，
∴f（-x）=a^-x-a^x=-（a^x-a^-x）=-f（x）
因此，函數f（x）是奇函數；
（II）設x₁＜x₂，可得
f（x₁）-f（x₂）=ax1-a-x1-（ax2-a-x2）=ax1-ax2+

ax1-ax2

ax1•ax2

=（ax1-ax2）（1+

1

ax1•ax2

）
∵1+

1

ax1•ax2

＞0，當a＞1時ax1-ax2＜0，而0＜a＜1時ax1-ax2＞0
∴當a＞1時f（x₁）-f（x₂）＜0，函數f（x）是（-∞，+∞）上的增函數；
當0＜a＜1時f（x₁）-f（x₂）＞0，函數f（x）是（-∞，+∞）上的減函數
（III）根據（II）的單調性，得
①當a＞1時，f（x）在區間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

即a²-a^-2=

3

2

，解之得a²=2（舍負），所以a=

2

（舍負）
②當0＜a＜1時，f（x）在區間[1，2]上的最大值為f（1）=

3

2

即a¹-a^-1=

3

2

，解之得a=2不滿足0＜a＜1，舍去
綜上所述，可得存在a=

2

滿足f（x）在區間[1，2]上的最大值為f（2）=

3

2

．

點評：本題給出含有指數的基本初等函數，討論函數的奇偶性、單調性并求函數在閉區間上的最值．著重考查了函數的奇偶性的定義、函數單調性的定義證明法和指數方程的解法等知識，屬于中檔題．