Question

如圖，已知ABCD為平行四邊形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，點E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD與EF相交于N．現將四邊形ADEF沿EF折起，使點D在平面BCEF上的射影恰在直線BC上．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱錐N-ABF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證BD⊥平面BCEF，只需證明D在平面BCEF上的射影為點B即可；
（Ⅱ）法一：建立空間直角坐標系，即可求折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；
法二：在線段BC上取點M，使BM=BF，說明∠DNM或其補角為DN與BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直線DN與直線BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，利用V_N-ABF=V_A-BNF=V_D-BNF求三棱錐N-ABF的體積．
解答：解：（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB
則平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
則D在平面BCEF上的射影在直線BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直線BC上，
則D在平面BCEF上的射影即為點B，
故BD⊥平面BCEF．（4分）

（Ⅱ）法一．如圖，建立空間直角坐標系，
∵在原圖中AB=6，∠DAB=60°，
則BN=，DN=2，∴折后圖中BD=3，BC=3
∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）
∴=（-1，，0）=（0，，-3）
∴=
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為（9分）

法二．在線段BC上取點M，使BM=NF，則MN∥BF
∴∠DNM或其補角為DN與BF所成角．
又MN=BF=2，DM=．
∴
∴折后直線DN與直線BF所成角的余弦值為
（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距離等于D到平面BNF的距離，
∴
即所求三棱錐的體積為（14分）
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，異面直線所成的角，棱錐的體積，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．