Question

如圖，已知ABCD為矩形，D₁D⊥平面ABCD，AD=DD₁=1，AB=2，點E是AB的中點．
（1）右圖中指定的方框內已給出了該幾何體的俯視圖，請在方框內畫出該幾何體的正視圖和側視圖；
（2）求三棱錐C-DED₁的體積；
（3）求證：平面DED₁⊥平面D₁EC．

Answer 1

解：（1）該幾何體的正視圖和側視圖如圖示：
（準確反映三視圖的圖形特征）-------（4分）
（2）∵D₁D⊥平面ABCD
∴（6分）
而
∴---------------（7分）
（3）∵E為AB的中點，
∴△DAE與△EBC都是等腰直角三角形
∴∠AED=∠BEC=45°∴CE⊥DE，------（10分）
又∵D₁D⊥平面ABCD，EC?平面ABCD
∴CE⊥DD₁，DE∩DD₁=D
∴CE⊥平面D₁ED-----------------（12分）
∵EC?平面D₁EC
∴平面DED₁⊥平面D₁EC----------------------------（14分）
分析：（1）由已知中的幾何體俯視圖，我們可得正視圖和側視圖的觀察方向，根據長對正，高平齊，寬相等的原則易得到該幾何體的正視圖和側視圖；
（2）由（1）中的三視圖，我們可以判斷出幾何的底面和高，求出底面面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案；
（3）由已知中D₁D⊥平面ABCD，由線面垂直的性質可得ACE⊥DD₁，又由AD=DD₁=1，AB=2，點E是AB的中點．可得CE⊥DE，進而由線面垂直的判定定理可得CE⊥平面D₁ED，再由面面垂直的判定定理即可得到平面DED₁⊥平面D₁EC．
點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，簡單空間圖形的三視圖，棱錐的體積，其中（1）的關鍵三視圖中長對正，高平齊，寬相等的原則，（2）的關鍵是求出底面面積和高．（3）的關鍵是證得CE⊥平面D₁ED．