Question

已知函數f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²，在x=-2時取得極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x∈[

1

e

-1，e-1]時，f（x）＜m恒成立，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若g（x）=x²+x+b，是否存在實數b，使得方程f（x）=g（x）在區間[0，2]上恰有兩個相異實數根，若存在，求出b的范圍，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用函數在x=-2時取得極值，得到f'（-2）=0，然后解出a．
（Ⅱ）利用導數求出函數在x∈[

1

e

-1，e-1]的最大值．
（Ⅲ）構造函數F（x）=f（x）-g（x），然后通過F（x）的圖象和性質研究在[0，2]上的取值．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=2x+2-

2(1+x)a

(x+1)2

=2(x+1)-

2a

x+1

，
函數在x=-2時取得極值，所以f'（-2）=-2+2a=0，解得a=1．
所以f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′(x)=2(x+1)-

2

x+1

=

2x(x+2)

x+1

，由f'（x）=0得x=0或x=-2（舍去）．
當x∈[

1

e

-1，0]，f′(x)＜0，當x∈[0，e-1]，f'（x）＞0．所以函數的極小值為f（0），最大值為f(

1

e

-1)=

1

e2

+2或f（e-1）=e²-2．
因為e2-2＞

1

e2

+2，所以最大值為f（e-1）=e²-2，所以m＞e²-2．
（Ⅲ）設F（x）=f（x）-g（x）=（1+x）²-ln?（1+x）²-x²-x-b=x-ln（1+x）²+1-b，
F′(x)=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，由F'（x）＞0得1＜x＜2，由F'（x）＜0得0＜x＜1，所以函數F（x）的增區間為（1，2），減區間為（0，1）．
所以極小值為F（1）=2-b-ln4，又F（0）=1-b，F（2）=3-b-ln9，所以要使方程f（x）=g（x）在區間[0，2]上恰有兩個相異實數根，
則有F（1）＜0，且F（0）＞0，F（2）＞0，解得2-2ln2＜b＜3-2ln3．
即b的范圍2-2ln2＜b＜3-2ln3．

點評：本題考查了導數在研究函數單調性和最值的應用，綜合性較強，運算量極大．