Question

△A，B，C所對的邊分別為a，b，c且2sin²

A+B

2

+cos2C=1
（1）求角C的大小；
（2）若向量

m

=（3a，b），向量

n

=（a，-

b

3

），

m

⊥

n

，（

m

+

n

）•（

m

-

n

）=16，求a，b，c的值．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,平面向量數量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）由二倍角公式化簡已知式子可得cosC的方程，解方程可得cosC，可得角C的大小；
（2）由已知向量式可得a和b的方程組，解方程組可得a，b，再由由余弦定理可得c值．

解答： 解：（1）由2sin²

A+B

2

+cos2C=1可得cos2C=1-2sin²

A+B

2

，
∴cos2C=cos（A+B），∴cos2C=-cosC
∴2cos²C-1+cosC=0，解得cosC=

1

2

，或cosC=-1（舍去）
∴角C的大小為

π

3

；
（2）∵向量

m

=（3a，b），

n

=（a，-

b

3

），
由

m

⊥

n

可得

m

•

n

=3a²-

b2

3

=0，解得b=3a，①
由（

m

+

n

）•（

m

-

n

）=

m

2-

n

2=8a²+

8

9

b2=16可得9a²+b²=18，②
聯立①②解得a=1且b=3，
由余弦定理可得c=

a2+b2-2abcosC

=

7

點評：本題考查二倍角的余弦公式，涉及余弦定理，屬基礎題．