【題目】在棱長為1的正方體
中，點
是對角線
上的動點（點與
不重合），則下列結論正確的是__________
①存在點，使得平面
平面
；
②存在點，使得平面
平面
；
③
的面積可能等于
；
④若
分別是
在平面
與平面
的正投影的面積，則存在點，使得
【答案】①②③④
【解析】
根據正方體的結構特征，利用線面位置關系的判定定理和性質定理，以及三角形的面積公式和投影的定義，即可求解，得到答案.
①如圖所示，當
是
中點時，可知也是
中點且
，
，
，所以
平面
，所以
，同理可知
，
且
，所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面，故正確；
②如圖所示，取靠近
的一個三等分點記為，記
，
，因為
，所以
，所以
為靠近
的一個三等分點，
則為
中點，又
為
中點，所以
，且
，
，
，所以平面
平面
，且
平面，
所以
平面，故正確；
③如圖所示，作
，在
中根據等面積得：
，
根據對稱性可知：
，又
，所以
是等腰三角形，
則
，故正確；
④如圖所示，設
，
在平面
內的正投影為
，在平面
內的正投影為
，所以
，
，當
時，解得：
，故正確.
故答案為 ①②③④
優生樂園系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】現有一長為100碼，寬為80碼，球門寬為8碼的矩形足球運動場地，如圖所示，其中
是足球場地邊線所在的直線，球門
處于所在直線的正中間位置，足球運動員（將其看做點
）在運動場上觀察球門的角
稱為視角．
（1）當運動員帶球沿著邊線
奔跑時，設到底線的距離為
碼，試求當
為何值時最大；
（2）理論研究和實踐經驗表明：張角越大，射門命中率就越大．現假定運動員在球場都是沿著垂直于底線的方向向底線運球，運動到視角最大的位置即為最佳射門點，以的中點為原點建立如圖所示的直角坐標系，求在球場區域
內射門到球門的最佳射門點的軌跡.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學餐飲中心為了了解新生的飲食習慣，在全校一年級學生中進行了抽樣調查，調查結果如下表所示：
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計 | |
南方學生 | 60 | 20 | 80 |
北方學生 | 10 | 10 | 20 |
合計 | 70 | 30 | 100 |
根據表中數據，問是否有
的把握認為“南方學生和北方學生在選用甜品的飲食習慣方面有差異”；
已知在被調查的北方學生中有5名數學系的學生，其中2名喜歡甜品，現在從這5名學生中隨機抽取3人，求至多有1人喜歡甜品的概率．
附：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發現成績都在
內,現將成績按區間
,
,
,
，
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數和老年組的平均數；
(2)從青年組,的分數段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數段的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了紀念“一帶一路”倡議提出五周年,某城市舉辦了一場知識競賽,為了了解市民對“一帶一路”知識的掌握情況,從回收的有效答卷中按青年組和老年組各隨機抽取了40份答卷,發現成績都在
內,現將成績按區間
,
,
,
，
進行分組,繪制成如下的頻率分布直方圖．
青年組
中老年組
(1)利用直方圖估計青年組的中位數和老年組的平均數；
(2)從青年組,的分數段中,按分層抽樣的方法隨機抽取5份答卷,再從中選出3份答卷對應的市民參加政府組織的座談會,求選出的3位市民中有2位來自分數段的概率．
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