Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.

（Ⅰ）若在區(qū)間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；

Answer 1

解：由已知得，

由，得，．

∵，，

∴ 當(dāng)時(shí)，，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞減．

∴ 在區(qū)間上的最大值為，∴．

又，，

∴ ．

由題意得，即，得．

故，為所求．　　　　　

（Ⅱ）解：由（1）得，，點(diǎn)在曲線上．

⑴ 當(dāng)切點(diǎn)為時(shí)，切線的斜率，

∴ 的方程為，即．

⑵當(dāng)切點(diǎn)不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，切線的斜率，

∴ 的方程為 ．

又點(diǎn)在上，∴ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，即，∴． ∴ 切線的方程為．

故所求切線的方程為或．　　　

（ 或者：由（1）知點(diǎn)A（0，1）為極大值點(diǎn)，所以曲線的點(diǎn)A處的切線為，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，符合題意．）