Question

（08年潮州市二模理）（14分）已知函數的導數滿足，常數為方程的實數根．

⑴ 若函數的定義域為I，對任意，存在，使等式=成立，

 求證：方程不存在異于的實數根；

⑵ 求證：當時，總有成立；

⑶ 對任意，若滿足，求證．

Answer 1

解析：⑴．用反證法，

設方程有異于的實根，即，不妨設，則，在與之間必存在一點c，，

由題意使等式成立，    ……………………  2分

因為，所以必有，但這與矛盾．

因此，如若也是方程的根，則必有，即方程不存在異于的實數根．… 4分

  ⑵．令，   　…………………………………… 5分

， 　  ………………………………… 6分

為增函數．       ……………………………… 7分

又當時，，即 　………………………………… 9分

⑶．不妨設，為增函數，即 ……………………  10分

又函數為減函數．   ……………………………  11分

即  ……………………  12分

即

∴．    ………………………   14分