Question

（08年潮州市二模理）（14分）

如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點，

⑴ 求證：平面BCD；

⑵ 求異面直線AB與CD所成角余弦的大小；

⑶ 求點E到平面ACD的距離．

Answer 1

解析：方法一：

⑴．證明：連結OC

     ………… 1分

    ，． ……… 2分

    在中，由已知可得 … 3分

而，   …………………  4分

    即  …………………  5分

   

    ∴平面．   ……………………………  6分

⑵．解：取AC的中點M，連結OM、ME、OE，由E為

BC的中點知，

∴　直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角，………………  8分

在中，  

是直角斜邊AC上的中線，∴     ……………  9分

∴，    ………………………  10分

∴異面直線AB與CD所成角余弦的大小為． ……………………………………  11分

⑶．解：設點E到平面ACD的距離為．

    ，  …………………………12分

    在中，,

    ,而，．

    ∴，

    ∴點E到平面ACD的距離為  ……………………………  14分

 

方法二：⑴．同方法一．

    ⑵．解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

   

    ，    ……………   9分

    ∴ 異面直線AB與CD所成角余弦的大小為．……   10分

    ⑶．解：設平面ACD的法向量為則

    ，

∴，令得是平面ACD的一個法向量．

    又

    ∴點E到平面ACD的距離  ．……… ………   14分