Question

13．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PA=AB，該四棱錐被一平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則剩余部分體積與原四棱錐體積的比值為（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 根據幾何體的三視圖可得：該幾何體是過BD且平行于PA的平面截四棱錐P-ABCD所得的幾何體．設AB=1，則截取的部分為三棱錐E-BCD，V_剩余部分=V_{四棱錐P-ABCD}-V_{三棱錐E-BCD}．即可得出．

解答 解：根據幾何體的三視圖可得；
該幾何體是過BD且平行于PA的平面截四棱錐P-ABCD所得的幾何體．
設AB=1，則截取的部分為三棱錐E-BCD，
V_{三棱錐E-BCD}=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×1×1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{12}$．
V_{四棱錐P-ABCD}=$\frac{1}{3}×{S}_{正方形ABCD}×PA$=$\frac{1}{3}×{1}^{2}×1$=$\frac{1}{3}$．
剩余部分的體積V_剩余部分=V_{四棱錐P-ABCD}-V_{三棱錐E-BCD}=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{1}{4}$．
∴剩余部分體積與原四棱錐體積的比值=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{4}$．
故選：D．

點評 本題考查了四棱錐與四棱錐的三視圖及其體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．