Question

19、已知數列{a_n}的前n項和為S_n，點（a_n+2，S_n+1）在直線y=4x-5上，其中n∈N^*．令b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1．求數列{b_n}的通項公式；若f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，計算f′（1）的結果．

Answer 1

分析：（1）把點的坐標代入到直線解析式中得到s_n+1，推出s_n，相減得到a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）根據b_n=a_n+1-2a_n．且a₁=1得到{b_n}是公比為2的等比數列寫出通項公式即可；
（2）因為f（x）=b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ，求出f′（x），則f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n，由（1）知f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n項和，利用錯位相減法得到即可．

解答：解：（1）依題意可得s_n+1=4（a_n+2）-5=4a_n+3
∴當n≥2時，s_n=4a_n-1+3，
兩式相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1∴a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）（n≥2）即b_n=2b_n-1（n≥2）
∴{b_n}是公比為2的等比數列，又b₁=a₂-2a₁=4
∴b_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹
（2）f（x）=b₁x+b₂x²+…+b_nxⁿ
∴f′（x）=b₁+2b₂x+…+nb_nx^n-1
∴f′（1）=b₁+2b₂+…+nb_n
由（1）解知f′（1）=2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹
∴f′（1）是{n•2ⁿ⁺¹}的前n項和，
錯位相減法得f′（1）=4+（n-1）•2ⁿ⁺²

點評：利用等比數列通項公式的能力，運用導數運算的能力．