Question

拋物線，直線過拋物線的焦點(diǎn)，交軸于點(diǎn).

（1）求證：；

（2）過作拋物線的切線，切點(diǎn)為（異于原點(diǎn)），

（i）是否恒成等差數(shù)列，請說明理由；

（ii）重心的軌跡是什么圖形，請說明理由.

 

Answer 1

（1）即證（2）能拋物線

【解析】

試題分析：（1）由于點(diǎn)F的坐標(biāo)已知，所以可假設(shè)直線AB的方程（依題意可得直線AB的斜率存在）.寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程消去y，即可得到一個關(guān)于x的一元二次方程，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)欲證轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系.

（2）（i）根據(jù)提議分別寫出，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證是否成立.

（ii）由三角形重心的坐標(biāo)公式，結(jié)合韋達(dá)定理，消去參數(shù)k即可得到重心的軌跡.

試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719282051705126/SYS201411171928348769487955_DA/SYS201411171928348769487955_DA.006.png">，所以假設(shè)直線AB為，，所以點(diǎn).聯(lián)立可得，，所以.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719282051705126/SYS201411171928348769487955_DA/SYS201411171928348769487955_DA.013.png">，.所以.

（2）（i）設(shè)，的導(dǎo)數(shù)為.所以可得，即可得.即得.

..所以可得即是否恒成等差數(shù)列.

（ii）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719282051705126/SYS201411171928348769487955_DA/SYS201411171928348769487955_DA.026.png">重心的坐標(biāo)為由題意可得.即，消去k可得.

考點(diǎn)：1.拋物線的性質(zhì).2.解方程的思想.3.等差數(shù)列的證明.4.三角形的重心的公式.5.運(yùn)算能力.6.分析問題和解決問題的能力、以及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.