Question

某養(yǎng)雞場(chǎng)流行一種傳染病，雞的感染率為10%．現(xiàn)對(duì)50只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，以期查出所有病雞．設(shè)計(jì)了如下方案：按n（1≤n≤50，且n是50的約數(shù)）只雞一組平均分組，并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn)，若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，即對(duì)該組的n只雞逐只化驗(yàn)．記X為某一組中病雞的只數(shù)．
（1）若n=5，求隨機(jī)變量X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；
（2）為了減少化驗(yàn)次數(shù)的期望值，試確定n的大小．
（參考數(shù)據(jù)：取0.9³=0.73，0.9⁴=0.66，0.9⁵=0.59，0.9¹⁰=0.35，0.9²⁵=0.07．）

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=5時(shí)，X～B（5，0.1），可得P(X=r)=

C

r 5

•0．1r•0．95-r，r=0，1，2，3，4，5，分別可得概率值，進(jìn)而可得分布列，可得期望；
（2）由題意得n的所有可能取值為1，2，5，10，25，50，可得50只雞的化驗(yàn)總次數(shù)的期望f(n)=

50

n

(n+1-n•0．9n)，分別代入可得f的值，比較可得最小值，進(jìn)而可得對(duì)應(yīng)的n值．

解答：解：（1）當(dāng)n=5時(shí)，X～B（5，0.1），
則P(X=r)=

C

r 5

•0．1r•0．95-r，r=0，1，2，3，4，5，…（2分）
故X的概率分布表為：

X	0	1	2	3	4	5
P	0.59	0.33	0.073	0.0081	0.00045	0.00001

所以E（X）=5×0.1=0.5；                                   …（4分）
（2）由題意得n的所有可能取值為1，2，5，10，25，50，
當(dāng)n∈{1}時(shí)，需化驗(yàn)50次；                                …（5分）
當(dāng)n∈{2，5，10，25，50}時(shí)，X～B（n，0.1），…（6分）
對(duì)于某一組的n只雞，化驗(yàn)次數(shù)Y的所有可能值為1，n+1，
且P（Y=1）=0.9ⁿ，P（Y=n+1）=1-0.9ⁿ，
所以E（Y）=1×0.9ⁿ+（n+1）×（1-0.9ⁿ）=n+1-n•0.9ⁿ，…（7分）
故50只雞的化驗(yàn)總次數(shù)的期望f(n)=

50

n

(n+1-n•0．9n)=50(1+

1

n

-0.9n)，…（8分）
算得f（2）=34.5，f（5）=30.5，f（10）=37.5，f（25）=48.5，f（50）=51，
所以按5只雞一組化驗(yàn)可使化驗(yàn)次數(shù)的期望值最小．            …（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，涉及等可能事件的概率，屬中檔題．