Question

某養雞場流行一種傳染病，雞的感染率為10%．現對50只雞進行抽血化驗，以期查出所有病雞．設計了如下方案：按n（1≤n≤50，且n是50的約數）只雞一組平均分組，并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗，若發現有問題，即對該組的n只雞逐只化驗．記X為某一組中病雞的只數．
（1）若n=5，求隨機變量X的概率分布和數學期望；
（2）為了減少化驗次數的期望值，試確定n的大小．
（參考數據：取0.9³=0.73，0.9⁴=0.66，0.9⁵=0.59，0.9¹⁰=0.35，0.9²⁵=0.07．）

Answer 1

（1）當n=5時，X～B（5，0.1），
則P(X=r)=

C

r5

•0．1r•0．95-r，r=0，1，2，3，4，5，…（2分）
故X的概率分布表為：

X	0	1	2	3	4	5
P	0.59	0.33	0.073	0.0081	0.00045	0.00001

所以E（X）=5×0.1=0.5；                                   …（4分）
（2）由題意得n的所有可能取值為1，2，5，10，25，50，
當n∈{1}時，需化驗50次；                                …（5分）
當n∈{2，5，10，25，50}時，X～B（n，0.1），…（6分）
對于某一組的n只雞，化驗次數Y的所有可能值為1，n+1，
且P（Y=1）=0.9ⁿ，P（Y=n+1）=1-0.9ⁿ，
所以E（Y）=1×0.9ⁿ+（n+1）×（1-0.9ⁿ）=n+1-n•0.9ⁿ，…（7分）
故50只雞的化驗總次數的期望f(n)=

50

n

(n+1-n•0．9n)=50(1+

1

n

-0.9n)，…（8分）
算得f（2）=34.5，f（5）=30.5，f（10）=37.5，f（25）=48.5，f（50）=51，
所以按5只雞一組化驗可使化驗次數的期望值最小．            …（10分）