Question

18．已知a，b，c均為正數(shù)，且a+b=1，則$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$的最小值是1．

Answer 1

分析 利用已知設(shè)2a+1=m，2b+1=n，得到m+n=4，則$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$，將其乘以m+n，展開，利用基本不等式求最小值．

解答 解：a，b，c均為正數(shù)，且a+b=1，
設(shè)2a+1=m，2b+1=n，且m+n=4，
則$\frac{1}{2a+1}$+$\frac{1}{2b+1}$=$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{4}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$）=$\frac{1}{4}$（2+$\frac{n}{m}+\frac{m}{n}$）
≥$\frac{1}{4}$（2+2）=1；當(dāng)且僅當(dāng)m=n等號成立；
故答案為：1．

點評 本題考查了利用基本不等式求代數(shù)式的最值；關(guān)鍵是將所求轉(zhuǎn)化為和為定值的兩個數(shù)，求其倒數(shù)的和的最小值問題．