Question

（2012•安徽模擬）函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1處分別取得最大值和最小值，且對于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2，都有

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則（　　）

A．函數y=f（x+1）一定是周期為4的偶函數

B．函數y=f（x+1）一定是周期為2的奇函數

C．函數y=f（x+1）一定是周期為4的奇函數

D．函數y=f（x+1）一定是周期為2的偶函數

Answer 1

分析：利用已知條件判斷函數的單調性，求出函數的最值，推出函數的周期，即可得到正確選項．

解答：解：因為函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1處分別取得最大值和最小值，
且對于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2，都有

f(x 1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
即函數y=f（x）在[-1，1]上是單調增函數，
∴f（x+1）在x=0和x=-2處分別取得最大值和最小值，即函數的周期是T=2×[0-（-2）]=4，
函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）在x=1和x=-1處分別取得最大值和最小值，
所以φ=0，函數f（x）=Asinωx是奇函數，x=1是對稱軸，
函數向左平移1單位，得到函數f（x+1），它的對稱軸是y軸，
∴函數y=f（x+1）一定是周期為4的偶函數．
故選A．

點評：本題考查函數的單調性以及函數的周期的求法，考查邏輯推理能力計算能力．