Question

已知函數y=x³+ax²+bx+c的圖象過點P（1，2）．過P點的切線與圖象僅P點一個公共點，又知切線斜率的最小值為2，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析：先對函數進行求導，表示出切線方程后與原函數聯立，根據切線與圖象僅P點一個公共點知△≤0可求出a的值，進而得到bc的值，得到答案．

解答：解：y'=3x²+2ax+b f'（1）=3+2a+b
過P點切線方程y-2=（3+2a+b）（x-1） 與y=x³+ax²+bx+c聯立，
并注意到曲線過點P（1，2）知a+b+c=1
x³+ax²-（3+2a）x+2+a=0 即（x-1）（x²+（a+1）x-2-a）=0
令（a+1）²+4（2+a）=（a+3）²≤0 知a=-3．
b-

(2a)2

4×3

=2，∴b=5，c=1-5+3=-1．
∴f（x）=x³-3x²+5x-1

點評：本題主要考查導數的幾何意義，即函數在某點的導數值等于其在該點的切線的斜率．