Question

（2011•重慶三模）如題19圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的下底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，AA₁=

2

a，且點(diǎn)A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點(diǎn)．
（I）證明：B₁D⊥面A₁CB；
（II）求二面角A₁-BC-B₁的大小．

Answer 1

分析：（I） 由已知，點(diǎn)A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點(diǎn)，點(diǎn)B₁在下底面ABCD上的射影恰為C點(diǎn)．易證BC⊥面B₁DC，得出BC⊥B₁D，再根據(jù)，又AA₁=

2

a，AD=a，求出A₁D=a，判斷出A₁B₁CD為正方形，再得出 B₁D⊥A₁C，且BC∩A₁C=C，于是B₁D⊥面A₁CB；
（Ⅱ）法一：在（I）的基礎(chǔ)上，已有BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁為二面角A₁-BC-B₁的 平面角，設(shè)A₁C∩B₁D=O，利用sin∠B₁CA₁=

B1O

B1C

=

2

2

，求得∠B₁CA₁=45°；
法二：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A₁BC的法向量為

m

，平面B₁BC的法向量為

n

，利用＜

m，

n

的夾角求出二面角A₁-BC-B₁的大小．

解答：解：（I）∵點(diǎn)A₁在下底面ABCD上的射影恰為D點(diǎn)，∴點(diǎn)B₁在下底面ABCD上的射影恰為C點(diǎn)．
即B₁C⊥面ABCD，∴B₁C⊥BC 又BC⊥CD，BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁D，又AA₁=

2

a，AD=a，
∴A₁D=a，即A₁B₁CD為正方形，∴B₁D⊥A₁C，∴B₁D⊥面A₁CB．
（II）法一：BC⊥面B₁DC，∴BC⊥B₁C，BC⊥A₁C，∴∠B₁CA₁為二面角A₁-BC-B₁的 平面角，
設(shè)A₁C∩B₁D=O，則B₁C=A₁D=a  B₁D=

2

a，∴B₁O=

2

2

a，∴sin∠B₁CA₁=

B1O

B1C

=

2

2

，∠B₁CA₁=45°，
∴二面角A₁-BC-B₁的大小是45°．
法二：建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，

則A₁（0，0，a），B₁（0，a，a），B（a，a，0），C（0，a，0）

A1C

=（0，a，-a）   

BC

=（-a，0，0）

B1C

=（0，0，-a）
設(shè)平面A₁BC的法向量為

m

=（x，y，z，）則

m • A1C =0 m • BC =0

即

ay-az=0 -ax=0

令y=1，得

m

=（0，1，1）
設(shè)平面B₁BC的法向量為

n

=（x′，y′，z′），則

n • B1C =0 n • BC =0

即

-az′=0 -ax′=0

，
令y′=1，得

n

=（0，1，0）
cos＜

m，

n

＞=

1

2 ×1

=

2

2

，＜

m，

n

＞=45°，又二面角A₁-BC-B₁的為銳二面角，所以其大小為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和平面垂直關(guān)系，二面角求解，考查轉(zhuǎn)化的思想方法（空間問(wèn)題平面化）空間想象能力，計(jì)算能力．利用空間向量的知識(shí)，則使問(wèn)題論證與求解演變成了代數(shù)運(yùn)算，降低了思維難度，使人們解決問(wèn)題更加方便．