Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}滿(mǎn)足b₁=2，點(diǎn)P(bn，bn+1)(n∈N*)在直線(xiàn)y=x+2上，
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)cn=an•bn(n∈N*)，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）依題意，易證

an+1

an

=2，b_n+1-b_n=2，結(jié)合題意可知數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹⇒T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）∵2a_n=S_n+2，
∴2a_n+1=S_n+1+2，
∴2a_n+1-2a_n=S_n+1-S_n=a_n+1，
∴

an+1

an

=2，又2a₁=S₁+2，
∴a₁=2，
∴數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
又b₁=2，b_n+1=b_n+2，
∴數(shù)列{b_n}是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴b_n=2+（n-1）×2=2n；
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=c₁+c₂+…+c_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1•2³+2•2⁴…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
兩式相減得：-T_n=2²+2³+2⁴…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

22(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-2²，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+2²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比關(guān)系與等差關(guān)系的確定及其通項(xiàng)公式，突出考查錯(cuò)位相減法，屬于中檔題．