Question

已知曲線C：f（x）=3x²-1，C上的兩點A，A_n的橫坐標分別為2與a_n（n=1，2，3，…），a₁=4，數列{x_n}滿足、設區間D_n=[1，a_n]（a_n＞1），當x∈D_n時，曲線C上存在點p_n（x_n，f（x_n）），使得點p_n處的切線與AA_n平行，
（I）建立x_n與a_n的關系式；
（II）證明：是等比數列；
（III）當D_n+1?D_n對一切n∈N₊恒成立時，求t的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）因為曲線在p_n處的切線與AA_n平行，所以6x_n=，由此可知2x_n=a_n+2．
（Ⅱ）由題意知，所以x_n+1=t（x_n-1）²+1，log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]，由此可知{log_t（x_n-1）+1}是一個公比為2的等比數列
（III）由題設知：log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）2^n-1，所以，從而，由此可求出t的范圍．
解答：解：（I）因為曲線在p_n處的切線與AA_n平行
∴6x_n=⇒2x_n=a_n+2
（Ⅱ）∵
∴，⇒x_n+1=t（x_n-1）²+1
從而log_t（x_n+1-1）=1+2log_t（x_n-1）⇒log_t（x_n+1-1）+1=2[log_t（x_n-1）+1]
∴{log_t（x_n-1）+1}是一個公比為2的等比數列
（III）由（II）知：log_t（x_n-1）+1=（log_t2+1）2^n-1
∴，從而
∴a_n+1＜a_n，∴
∴
點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，仔細解答．