Question

（2007•成都一模）某商場以100元/件的價格購進一批襯衣，以高于進價的價格出售，銷售有淡季旺季之分．通過市場調查發現：
①銷售量r（x）（件）與襯衣標價x（元/件）在銷售旺季近似地符合函數關系：r（x）=kx+b₁；在銷售淡季近似地符合函數關系：r（x）=kx+b₂，其中k＜0，b₁、b₂＞0且k、b₁、b₂為常數；
②在銷售旺季，商場以140元/件的價格銷售能獲得最大銷售利潤；
③若稱①中r（x）=0時的標價x為襯衣的“臨界價格”，則銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍．
請根據上述信息，完成下面問題：
（Ⅰ）填出表格中空格的內容；

數量關系 銷售季節	標價 （元/件）	銷售量r（x）（件） （含k、b1或b2）	不同季節的銷售總利潤y（元） 與標價x（元/件）的函數關系式
旺  季	x	r（x）=kx+b1
淡  季	x

（Ⅱ）在銷售淡季，該商場要獲得最大銷售利潤，襯衣的標價應定為多少元才合適？

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據銷售總利潤等于銷售量r（x）（件）與襯衣標價x的積減去銷售量r（x）（件）與襯衣進價，可填寫表格；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的表達式中，由k＜0可知，在銷售旺季，當x=

100k-b1

2k

=50-

b1

2k

時，利潤y取最大值；
在銷售淡季，當x=

100k-b2

2k

=50-

b2

2k

時，利潤y取最大值．由②知，在銷售旺季，商場以140元/件價格出售時，能獲得最大利潤．因此在銷售旺季，當標價x=50-

b1

2k

=140時，利潤y取最大值，從而可求在銷售旺季，襯衣的“臨界價格”為180元/件，根據銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍，可得銷售淡季的“臨界價格”為120元/件，所以120k+b₂=0，從而可求銷售淡季，商場要獲得最大利潤，襯衣的標價．

解答：解：（Ⅰ）

	標價 （元/件）	銷售量r（x）（件） （含k、b1或b2）	不同季節的銷售總利潤y（元） 與標價x（元/件）的函數關系式
旺  季	x	r（x）=kx+b1	y=kx2-（100k-b1）x-100b1
淡  季	x	r（x）=kx+b2	y=kx2-（100k-b2）x-100b2

（Ⅱ）在（Ⅰ）的表達式中，由k＜0可知，
在銷售旺季，當x=

100k-b1

2k

=50-

b1

2k

時，利潤y取最大值；
在銷售淡季，當x=

100k-b2

2k

=50-

b2

2k

時，利潤y取最大值．
下面分銷售旺季和銷售淡季進行討論：
由②知，在銷售旺季，商場以140元/件價格出售時，能獲得最大利潤．
因此在銷售旺季，當標價x=50-

b1

2k

=140時，利潤y取最大值．
此時b₁=-180k，銷售量為r（x）=kx-180k．
由kx-180k=0知，在銷售旺季，襯衣的“臨界價格”為180元/件．…（4分）
∵銷售旺季的“臨界價格”是銷售淡季的“臨界價格”的1.5倍，
∴銷售淡季的“臨界價格”為120元/件，
∴120k+b₂=0，
∴在銷售淡季，當標價x=50-

b2

2k

=110元/件時，利潤y取最大值．
故在銷售淡季，商場要獲得最大利潤，應將襯衣的標價定為110元/件合適．…（4分）

點評：本題以實際問題為載體，考查函數模型的構建，考查新定義，解題時構建函數，正確理解題意是關鍵．