Question

函數f（x）=

2007

n-1

|x-n|的最小值為（　　）

A．1003×1004

B．1104×1105

C．2006×2007

D．2005×2006

Answer 1

分析：題目給出的函數是求2007個含有絕對值的代數式的和，求解時要整體考慮，找出1到2007的中間值1004，分x小于、等于和大于1004三種情況思考去絕對值，去絕對值后根據函數單調性求解最小值．

解答：解：由題意f（x）=

2007

n=1

|x-n|=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2007|，
此函數由2007個含絕對值的和構成，分三段進行處理，
當x＜1004時，絕對之內的2007個數負數多于正數，去絕對值后f（x）化為一次項系數為負值的一次函數，此時函數為R上的減函數，但取不到最小值f（1004），
當x＞1004時，絕對之內的2007個數正數多于復負數，去絕對值后f（x）化為一次項系數為正值的一次函數，此時函數為R上的增函數，也取不到最小值f（1004），
當x=1004時，f（1004）最小等于2(1+2+3+…+1003)=2

(1+1003)×1003

2

=1003×1004．
故選A．

點評：本題考查了函數值域的求法，考查了整體處理問題的能力，解答此題的關鍵是能夠想到分情況去絕對值，該題有一定難度．