Question

某公司生產一種儀器的固定成本為10000元，每生產一臺儀器需增加投入200元，已知總收益滿足函數g(x)=

400x- 1 2 x2， 0≤x≤400 100000，x＞400

．其中x是儀器的月產量（單位：臺）．
（1）將利潤表示為月產量x的函數f（x）；  
（2）當月產量x為何值時，公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？（利潤=總收益總-成本）

Answer 1

分析：（1）分類討論利用：利潤=總收益-總成本，總成本=固定成本+每生產一臺儀器需增加投入200元×生產儀器的件數．可得：當0≤x≤400時，f（x）=g（x）-10000-200x=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000；當x＞400時，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x．
（2）利用（1）的結論，分類討論，分別利用二次函數和一次函數的單調性即可得出．

解答：解：（1）當0≤x≤400時，f（x）=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000；
當x＞400時，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x．
∴f（x）=

200x- 1 2 x2-10000，0≤x≤400 90000-200x，x＞400

，
（2）當0≤x≤400時，f（x）=400x-

1

2

x2-10000-200x=200x-

1

2

x2-10000=-

1

2

(x-200)2+10000；
∴當x=200時，此時f（x）獲得最大利潤，最大利潤為f（200）=10000．
當x＞400時，f（x）=100000-10000-200x=90000-200x＜90000-200×400=10000．
綜上可知：當且僅當x=200時，公司所獲利潤最大，最大利潤為10000元．

點評：正確理解利潤=總收益-總成本和熟練掌握二次函數和一次函數的單調性、分類討論的思想方法等是解題的關鍵．