Question

一個正三棱錐的側棱長為1，底邊長為

2

，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為

 

．

Answer 1

分析：由題意球心到正三棱錐四個頂點的距離相等都為R，由于頂點在底面的射影是底面的中心，故棱錐的高易求出，由此球心到底面的距離可以表示出，故可以利用球心到謀面的距離、球的半徑、底面中心到頂點的距離這個直角三角形利用勾股定理建立方程求出球的半徑．

解答：解：由題意設球的半徑為R，正三棱錐在底面的投影是底面的中心，
由于一個正三棱錐的側棱長為1，底邊長為

2

，故底面三角形的高為

6

2

，底面中心到底面三角形的頂點的距離是

2

3

×

6

2

=

6

3

故三棱錐的頂點到底面的距離是

12-( 6? 3 )2

=

3

3

故球心到底面的距離是

3

3

-R，由幾何體的結構知(

6?

3

)2+(

3?

3

-R)2=R2得R=

3

2

此球的表面積為4×π×(

3

2

)2=3π
故答案為3π

點評：本題考查球的體積和表面積，求解本題的關鍵是根據三棱錐的幾何結構求出球的半徑，再由公式求表面積．對幾何體空間結構的透徹了解，是解立體幾何體的關鍵．