Question

已知圓C和y軸相切，圓心在直線x-3y=0上，且被直線y=x截得的弦長為2

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（1）求圓C的方程．
（2）若圓心在第一象限，求過點（6，5）且與該圓相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）由圓心在直線x-3y=0上，設出圓心坐標，再根據圓與y軸相切，得到圓心到y軸的距離即圓心橫坐標的絕對值等于圓的半徑，表示出半徑r，然后過圓心作出弦的垂線，根據垂徑定理得到垂足為弦的中點，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線y=x的距離d，由弦長的一半，圓的半徑r及表示出的d利用勾股定理列出關于t的方程，求出方程的解得到t的值，從而得到圓心坐標和半徑，根據圓心和半徑寫出圓的方程即可．
（2）圓心在第一象限的圓是（x-3）²+（y-1）²=9，設過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，由圓心O（3，1），半徑r=3，知

|3k-1+5-6k|

k2+1

=3，由此能求出切線方程．

解答：解：（1）設圓心為（3t，t），半徑為r=|3t|，
則圓心到直線y=x的距離 d=

|3t-t|

2

=|

2

t|，
而 (

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)2=r2-d2，9t2-2t2=7，t=±1，
∴（x-3）²+（y-1）²=9或（x+3）²+（y+1）²=9．
（2）圓心在第一象限的圓是（x-3）²+（y-1）²=9，
設過點（6，5）且與該圓相切的直線方程為y-5=k（x-6），即kx-y+5-6k=0，
∵圓心O（3，1），半徑r=3，
∴

|3k-1+5-6k|

k2+1

=3，
解得k=

7

24

．
∴當切線的斜率k存在時，其方程為y-5=

7

24

（x-6），
即7x-24y+78=0．
當切線的斜率k不存在時，其方程為x=6．
故切線方程為7x-24y+78=0，或x=6．

點評：第（1）題綜合考查了垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．根據題意設出圓心坐標，找出圓的半徑是解本題的關鍵．第（2）考查了圓的切線方程的求法，易錯點是當切線的斜率不存在時，容易丟解．