Question

在平面直角坐標系xOy中，設曲線C1：所圍成的封閉圖形的面積為

，曲線C1上的點到原點O的最短距離為．以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓記

為C2．

（1）求橢圓C2的標準方程；

（2）設AB是過橢圓C2中心O的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上的點（與O不重合）．

①若MO＝2OA，當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；

②若M是l與橢圓C2的交點，求△AMB的面積的最小值．

 

Answer 1

（1）;（2）①;②．

【解析】

試題分析：（1）對于曲線C1：的處理，關鍵問題是兩個絕對值的處理，根據x,y的特點，不難發現與坐標系中的四個象限有關，進而即可得到，即可得出橢圓方程; （2）①由l是線段AB的垂直平分線，可轉化為：，又由MO＝2OA，可轉化得到：，這樣的好處是兩條件均轉化為向量了，設出點M和點A的坐標即可得到關系：解出再利用點M在所求橢圓上即可求出：;②中要求△AMB的面積的最小值，根據此地三角形的特點，不難想到直線AB的設出，根據斜率是否存在，可先考慮兩種特殊情況：一種不存在;另一種為0，再考慮一般情形，運用方程組思想即可得：和，進而表示出面積：，最后結合不等式知識即可求出最小值．

試題解析：（1）由題意得 又，解得，．

因此所求橢圓的標準方程為． 4分

（2）①設，，則由題設知：，．

即 解得 8分

因為點在橢圓C2上，所以，

即，亦即．

所以點M的軌跡方程為． 10分

②假設AB所在的直線斜率存在且不為零，設AB所在直線方程為y＝kx(k≠0)．

解方程組 得，，

所以，.

又 解得，，所以． 12分

由于

，

當且僅當時等號成立，即k＝±1時等號成立，

此時△AMB面積的最小值是S△AMB＝． 15分

當k＝0，S△AMB；

當k不存在時，S△AMB．

綜上所述，△AMB面積的最小值為． 16分

考點：1.橢圓方程;2.直線與橢圓的位置關系;3.基本不等式