Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-n²+2kn（k∈N^*），且S_n的最大值為4．
（1）確定常數(shù)k的值，并求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）令b_n=

5-an

3n

，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，試比較T_n與

3

2

的大小．

Answer 1

分析：（1）把給出的數(shù)列的和配方，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出使最大值為4時的k值，然后分類求出首項和當n大雨等于2時的通項，驗證首項后得結(jié)論；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項公式代入b_n=

5-an

3n

，整理后利用錯位相減法求和，則T_n與

3

2

的大小得到比較．

解答：解：（1）∵S_n=-n²+2kn=-（n-k）²+k²（k∈N^*），
∴當n=k時，S_n取得最大值k²．
依題意得k²=4，又k∈N^*，∴k=2．從而Sn=-n2+4n．
當n≥2時，an=Sn-Sn-1=(-n2+4n)-[-(n-1)2+4(n-1)]=5-2n．
又a₁=S₁=3也適合上式，所以a_n=5-2n；
（2）由（1）得a_n=5-2n，所以bn=

5-an

3n

=

2n

3n

．
所以Tn=

2

3

+

4

32

+

6

33

+…+

2n

3n

①，

1

3

Tn=

2

32

+

4

33

+

6

34

+…+

2n

3n+1

②．
由①-②得，

2

3

Tn=

2

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n

3n+1

，
所以Tn=1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n

3n

=

1- 1 3n

1- 1 3

-

n

3n

=

3

2

-

2n+3

2•3n

．
∵Tn-

3

2

=-

2n+3

2•3n

，
∴Tn＜

3

2

．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法求數(shù)列的和，訓練了比較法比較兩個數(shù)的大小，是中檔題．