Question

8．設函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，若方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個不相等的實根x₁，x₂，則e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$的最大值為（　　）

• A． $\frac{1}{{e}^{2}}$
• B． 2（ln2-1）
• C． $\frac{4}{{e}^{2}}$
• D． ln2-1

Answer 1

分析 求出f（f（x））的解析式，根據f（f（x））的函數圖象判斷x₁，x₂的范圍和兩根的關系，構造函數h（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$，求出h（x₁）的最大值即可．

解答 解：令g（x）=f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{e}^{x}}，x≥0}\\{{e}^{{x}^{2}}，x＜0}\end{array}\right.$，
∵y=f（x）在（-∞，0）上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增，
∴g（x）=f（f（x））在（-∞，0）上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．
做出g（x）=f（f（x））的函數圖象如圖所示：

∵方程f（f（x））=a（a＞0）恰有兩個不相等的實根x₁，x₂，
不妨設x₁＜x₂，則x₁≤-1，x₂≥0，且f（x₁）=f（x₂），即x₁²=e${\;}^{{x}_{2}}$．
∴e${\;}^{{x}_{1}}$•e${\;}^{{x}_{2}}$=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁²，
令h（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁²，則h′（x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$（x₁²+2x₁）=e${\;}^{{x}_{1}}$•x₁•（x₁+2），
∴當x₁＜-2時，h′（x₁）＞0，當-2＜x₁＜-1時，h′（x₁）＜0，
∴h（x₁）在（-∞，-2）上單調遞增，在（-2，-1）上單調遞減，
∴當x₁=-2時，h（x₁）取得最大值h（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$．
故選C．

點評 本題考查了根的個數與函數圖象的關系，函數單調性判斷與函數最值的計算，屬于中檔題．