Question

定義在R上的函數，對任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則稱函數f（x）是R上的凸函數．已知二次函數f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當a＜0時，函數f（x）是凸函數；
（2）對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

21

+x1+a

x

22

+x2)
=-a(

x1-x2

2

)2，
又a＜0，故f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
所以當a＜0時，函數f（x）是凸函數，命題得證．----------（5分）
（2）∵對任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴a≥-(

1

x

)2-

1

x

在（0，1]上恒成立，
即a≥[-(

1

x

)2-

1

x

] max=2則a≥-2，------（8分）
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------（10分）