Question

求下列函數(shù)的值域：
（1）f（x）=x-2+

1-2x

，x∈[-

9

32

，

3

8

）；    
（2）f（x）=

x +1

x -1

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=

1-2x

，利用換元法可將函數(shù)解析式化為y═-

1

2

（t-1）²-1，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得函數(shù)的值域；
（2）由y=

x +1

x -1

得

x

=

y+1

y-1

≥0，根據(jù)

x

的有界性轉(zhuǎn)化為解不等式，從而求解y的范圍．

解答： 解：（1）令t=

1-2x

，∵x∈[-

9

32

，

3

8

），∴

1

2

＜

1-2x

≤

5

4

，∴

1

2

＜t≤

5

4

；    
 則x=

1

2

（1-t²）
由函數(shù)可化為y═

1

2

（1-t²）+t-2=-

1

2

（t-1）²-1，
當(dāng)t=1時，函數(shù)取最大值-1．無最大值，把t=

1

2

代入得-

9

8

，
故函數(shù)f（x）的值域是（-

9

8

，-1]
（2）由y=

x +1

x -1

得

x

=

y+1

y-1

≥0，
∴y≤-1或y＞1，
∴故函數(shù)f（x）的值域是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)的值域：其中利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題是解答的關(guān)鍵；同時，利用代數(shù)式的有界性求解范圍也是常用方法．