Question

已知函數f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2）
（1）當t＜l時，求函數f（x）的單調區間；
（2）比較f（-2）與f （t）的大小，并加以證明；
（3）當函數自變量的取值區間與對應函數值的取值區間相同時，這樣的區間稱為函數的保值區間，設g（x）=f（x）+（x-2）e^x，試問函數g（x）在（1，+∞）上是否存在保值區間？若存在，請求出一個保值區間；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），知f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=e^xx（x-1）．由此能求出當t＜1時，函數y=f（x）的單調區間．
（Ⅱ）令m=f（-2）=13e^-2，n=f（t）=（t²-3t+3）e^t，設h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，故h′（t）（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）=e^t（t²-3t+3），列表討論知h（t）的極小值為h（1）=e-＞0，由此能夠證明n＞m．
（Ⅲ）由g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1）2 e^x，知g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），設x＞1時，假設存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．由此能夠推導出不存在區間[a，b]滿足題意．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=（x²-3x+3）e^x，x∈[-2，t]（t＞-2），
∴f′（x）=（2x-3）e^x+e^x（x²-3x+3）=e^xx（x-1）．
①當-2＜t≤0時，x∈（-2，t），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
②當0＜t＜1時，x∈（-2，0），f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
x∈（0，t），f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
綜上所述，當-2＜t≤0時，y=f（x）單調遞增區間為（-2，t）；
當0＜t＜1時，y=f（x）單調遞增區間為（-2，0），減區間為（0，t）．
（Ⅱ）f（t）＞f（-2）．
證明：令m=f（-2），n=f（t），則m=13e^-2，n=（t²-3t+3）e^t，
設h（t）=n-m=（t²-3t+3）e^t-13e^-2，
∴h′（t）=（2t-3）e^t+e^t（t²-3t+3）
=e^tt（t-1），（t＞-2）．
h（t），h′（t）隨t變化如下表：

由上表知h（t）的極小值為h（1）=e-=＞0．
又h（-2）=0，
∴當t＞-2時，h（t）＞h（-2）＞0，即h（t）＞0．
因此，n-m＞0，即n＞m，
所以f（t）＞f（-2）．
（Ⅲ）g（x）=（x²-3x+3）e^x+（x-2）e^x=（x²-2x+1）e^x=（x-1）2 e^x，
g′（x）=（2x-2）e^x+e^x（x²-2x+1）=e^x（x²-1），
設x＞1時，g（x）存在保值區間，即存在[a，b]，使y=g（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]．
因為x＞1時，g′（x）＞0，所以y=g（x）單調遞增．
故應有，
即方程（x-1）²e^x=x有兩個大于1的不等根，
設φ（x）=（x-1）²e^x-x，（x＞1），
φ′（x）=e^x（x²-1）-1，
設k（x）=e^x（x²-1）-1，（x＞1），k′（x）=e^x（x²+2x-1），
當x＞1時，k′（x）＞0，即k（x）在（1，+∞）遞增，
又k（1）=-1＜0，k（2）=3e²-1＞0．
∴x∈（1，2）時存在唯一的x，使k（x）=0．
即存在唯一的x，使φ′（x）=0．
φ（x），φ′（x）隨x的變化如下表：

由上表知，φ（x）＜φ（1）=-1＜0，
φ（2）=e²-2＞0，
故y=φ（x）的大致圖象如圖，


因此φ（x）在（1，+∞）只能有一個零點，
這與φ（x）=0有兩個大于1的不等根矛盾，
故不存在區間[a，b]滿足題意，即函數g（x）不存在保值區間．
點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查不等式的證明，探索滿足條件的區間是否存在．綜合性強，難度大，具有一定的探索性，對數學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質的靈活運用