Question

3．某校高二年級在一次數學測驗后，隨機抽取了部分學生的數學成績組成一個樣本，得到如下頻率分布直方圖：
（1）求這部分學生成績的樣本平均數$\overline x$和樣本方差s²（同一組數據用該組的中點值作為代表）
（2）由頻率分布直方圖可以認為，該校高二學生在這次測驗中的數學成績X服從正態分布$N（\overline x，{s^2}）$．
①利用正態分布，求P（X≥129）；
②若該校高二共有1000名學生，試利用①的結果估計這次測驗中，數學成績在129分以上（含129分）的學生人數．（結果用整數表示）
附：①$\sqrt{210}$≈14.5②若X～N（μ，σ²），則P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．

Answer 1

分析 （1）由同一組數據用該組的中點值作為代表，利用平均數公式和方差公式能求出抽取的樣本平均數x和樣本方差s²．
（2）①由（1）知：X～N（100，210），從而P（X≥129）=P（X≥100+2×14.5），可得結論；
②由①知：這次測驗，該校高二1000名學生中，成績在12（9分）以上的人數約為1000×0.0228．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖可知：$\overline{x}=（70×0.005+80×0.010+90×0.020+100×0.030+110×0.020+120×0.010$+130×0.005）×10=100分 …（3分）
s²=（-30）²×0.005×10+（-20）²×0.010×10+（-10）²×0.020×10+0×0.030×10+10²×0.020×10+20²×0.010×10+30²×0.005×10=210…（6分）
（2）①由（1）知：X～N（100，210），
從而P（X≥129）=P（X≥100+2×14.5）=$\frac{1-P（100-2×14.5＜X＜100+2×14.5）}{2}$=$\frac{1-0.9544}{2}$=0.0228
…（10分）
②由①知：這次測驗，該校高二1000名學生中，成績在12（9分）以上的人數約為1000×0.0228=22.8≈23人…（12分）

點評 本題考查樣本平均數x和樣本方差s²的求法，考查正態分布，是中檔題，