Question

若曲線y=x⁴+x在P點處的切線與直線3x+y=0平行，則P點的坐標是     ．

Answer 1

【答案】分析：先設切點P坐標為（m，n），根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=m處的導數，從而求出切線的斜率，建立等量關系，解之即可求出m，然后將切點坐標代入曲線解析式即可求出n．
解答：解：設切點P坐標為（m，n）
y'|_x=m=（4x³+1）|_x=m=4m³+1
∵曲線y=x⁴+x在P點處的切線與直線3x+y=0平行
∴4m³+1=-3解得：m=-1
切點P坐標為（-1，n）在曲線y=x⁴+x上，則n=0
故P點的坐標是（-1，0）
故答案為：（-1，0）
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及兩條直線平行的判定，屬于基礎題．